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quarta-feira, 27 de março de 2013

O triângulo de Pascal é de Pascal?

Com um pouco de bom senso é natural que suspeitemos que o triângulo aritmético não seja uma invenção de Pascal.

A denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Se bem que os franceses o chamem triângulo de Pascal, os chineses chamam-no de triângulo de Yang Hui, os italianos chamam-no de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.

As ideias sobre o triângulo aritmético foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda Matemática. Extracção, possivelmente aproximada, de raízes quadradas, cúbicas, quárticas,... era um dos procedimentos, usando a expansão do binómio de várias maneiras, mais populares - conhecida há quase 2000 anos antes de Pascal:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b (2a+b)

(a+b)3 = a3+3ab2+3ab2+b3 = a3+b (3a2+3ab+b2)

Vejamos os detalhes, tomando o caso concreto do cálculo de raiz quadrada de N=51.

O procedimento buscará escrever a tal raiz quadrada como a+b, de modo que:

N = (a+b)2 = a2 + b (2a+b)

A obtenção de a é fácil: basta acharmos um valor a que a2 seja menor ou igual a N=51; a seguir obtemos o valor de b como o limite da sequência de aproximações que parte de Bo= 0 e sucessivamente calcula b1, b2, etc... (geradas por iteração). Conforme descobriu Tartaglia, cerca de 100 anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, contabilístico.

A Índia,a China e os muçulmanos já estabeleciam um triângulo aritmético bem antes da Revolução Científica do século XVII.