Arquimedes e o princípio de Cavalieri

Arquimedes, o geômetra de Siracusa, tinha na sua bagagem de escritos, um longo aprendizado com a geometria do Egito Antigo,e também com a aritmética de assírios e babilônicos. Esta coleção de conhecimentos vinha da Biblioteca de Alexandria,no Egito. Era o maior tesouro de conhecimentos do mundo antigo. Em sua época, a geometria e a aritmética eram territórios separados.Uma geômetra e filósofa chamada Hypatia preservou pra si muitos desses conhecimentos. Pena que nenhum escrito seu se salvou. Ela morreu por decreto da Igreja alexandrina.

Quando Alexandre Magno conquistou a Ásia até a Índia,e também o Egito e parte do norte da África, ele fundou cerca de 20 "Alexandrias" pelo Império.A única que vigorou foi a Alexandria do Egito. Nesta,o seu general Ptolomeu que se tornou rei do Egito após sua morte,começou um processo de helenização do país. Traduzindo:Ele começou a encher o Egito de cultura grega. E a grande biblioteca foi uma dessas consequências.

No século XVII da Era Cristã surgiu um matemático italiano chamado Bonaventura Cavalieri(1598-1647),que aumentaria muito as disposições de Arquimedes. Era um jesuíta,discípulo de Galileu Galilei(1564-1642),que escreveu uma obra famosa: Geometria indivisibilibus continuorum nova (Nova Geometria dos Indivisíveis Contínuos),em que foi colocado os 'Principios de Cavalieri',que são dois:

1º)Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

2º)Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Os Principios de Cavalieri são principios não recíprocos,ou seja, só valem para a ida. A volta pode ser verdeira, ou não. Muitos não sabem desse detalhe. Todos os sólidos(ou planos)que ele se aplica tem volumes e áreas iguais. Mas nem todos os volumes e áreas iguais se aplica esse principio.